Le calcul d'Isaac Newton a en fait commencé en 1665 avec sa découverte de la série binomiale générale (1 + x ) n = 1 + n x + n ( n - 1) / 2! ∙ x 2 + n ( n - 1) ( n - 2) / 3! ∙ x 3 + ⋯ pour les valeurs rationnelles arbitraires de n . Avec cette formule, il a pu trouver des séries infinies pour de nombreuses fonctions algébriques (fonctions y de x qui satisfont une équation polynomiale p ( x , y) = 0). Par exemple, (1 + x ) −1 = 1 - x + x 2 - x 3 + x 4 - x 5 + ⋯ et 1 / Racine carrée de √ (1 - x 2) = (1 + (- x 2) ) −1/2 = 1 + 1/2 ∙ x 2 + 1 ∙ 3/2 ∙ 4 ∙ x 4+ 1 ∙ 3 ∙ 5/2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ x 6 + ⋯.
Quiz Astronomie et espace Quiz Comment s'appelle la partie visible du Soleil? À son tour, cela a conduit Newton à des séries infinies pour les intégrales de fonctions algébriques. Par exemple, il a obtenu le logarithme en intégrant les puissances de x dans la série (1 + x ) -1 , un par un, log (1 + x ) = x - x 2/ 2 + x trois / trois - x 4 / 4 + x 5/ 5 - x 6/ 6 + ⋯, et la série de sinus inverse par intégration de la série 1 / racine carrée de √ (1 - x 2), sin-1 ( x ) = x + 1/ 2 ∙x 3/ 3 + 1 ∙ 3/ 2 ∙ 4 ∙ x 5/ 5 + 1 ∙ ∙ 3 5/ 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ x sept / sept + ⋯.
Enfin, Newton a couronné cette performance virtuose en calculant la série inverse pour x comme une série en puissances de y = log ( x ) et y = sin − 1 ( x ), respectivement, en trouvant la série exponentielle x = 1 + y / 1! + Y 2/ 2! + Y 3/ 3! + Y 4/ 4! + ⋯ et la série sinus x = y - y 3/ 3! + Y 5/ 5! - y 7 /7! + ⋯.
Notez que la seule différenciation et intégration nécessaires à Newton concernait les puissances de x , et le vrai travail impliquait un calcul algébrique avec des séries infinies. En effet, Newton considérait le calcul comme l'analogue algébrique de l'arithmétique avec des décimales infinies, et il écrivit dans son Tractatus de Methodis Serierum et Fluxionum (1671; «Treatise on the Method of Series and Fluxions»):
Je suis étonné qu'il ne soit venu à l'idée de personne (à l'exception de N. Mercator et de sa quadrature de l'hyperbole) d'adapter la doctrine récemment établie des nombres décimaux aux variables, d'autant plus que la voie est alors ouverte à des conséquences plus frappantes. Car puisque cette doctrine dans les espèces a le même rapport à l'algèbre que la doctrine des nombres décimaux à l'arithmétique commune, ses opérations d'addition, de soustraction, de multiplication, de division et d'extraction de racine peuvent être facilement apprises de celle-ci.
Pour Newton, ces calculs étaient la quintessence du calcul. Ils peuvent être trouvés dans son De Methodis et le manuscrit De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (1669; «On Analysis by Equations with an Infinite Number of Terms»), qu'il a été piqué dans l'écriture après que sa série logarithmique ait été redécouverte et publiée par Nicolaus Mercator. Newton n'a jamais terminé le De Methodis et, malgré l'enthousiasme du petit nombre qu'il a autorisé à lire De Analysi , il l'a retenu de la publication jusqu'en 1711. Ceci, bien sûr, ne lui a fait que du mal dans sa dispute prioritaire avec Gottfried Wilhelm Leibniz.
